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Il mwbamodello autoregressivo a media mobile, detto anche mwbqARMA, è un tipo di mwbgmodello matematico mwbwlineare che fornisce istante per istante un mwcavalore di uscita basandosi sui precedenti valori in entrata e in uscita. A volte denominato mwcqmodello di Box-Jenkins dal nome dei suoi inventori mwcgGeorge Box e mwcwGwilym Jenkins, viene utilizzato in mwdastatistica per lo studio delle mwdqserie storiche dei dati e in mwdgingegneria dei sistemi nella modellizzazione soprattutto di mwdwsistemi meccanici, idraulici o elettronici.

• Caratteristiche

• Linearità

• Versione discreta e continua

• Descrizione mediante funzione di trasferimento

• Proprietà

• Modello di sistemi composti

• ARMA come MA(∞)

• Bibliografia

• Voci correlate

• Collegamenti esterni

Si considera il sistema da descrivere come un'entità che, istante per istante, riceve un valore in entrata (input) e ne genera uno in uscita (output), calcolati in base a dei parametri interni che variano a loro volta in base a leggi lineari. Ogni parametro interno, dunque, verrà ad ogni istante posto uguale a una mwewcombinazione lineare di tutti parametri interni dell'istante precedente e del valore in entrata, e il valore in uscita sarà a sua volta una combinazione lineare dei parametri interni e in rari casi anche di quello in entrata; in tal caso si parla di mwfamodello improprio, la cui caratteristica principale è di rispondere istantaneamente alle variazioni dell'input e dare luogo a anomalie nel calcolo qualora fosse collegato ad anello con altri sistemi impropri.

Algebricamente, i valori in ingresso e in uscita in un dato istante sono due scalari e i parametri interni formano un vettore. Lo scalare in uscita è il prodotto tra il vettore dei parametri e un vettore fisso mwfg c {\displaystyle c} facente parte del modello e di dimensione uguale al numero dei parametri mwfw n {\displaystyle n} , sommato all'ingresso moltiplicata per un coefficiente mwga d {\displaystyle d} che nei sistemi impropri è diverso da 0. Il vettore dei parametri è in ogni istante calcolato come la somma dello scalare in ingresso per un vettore mwgq b {\displaystyle b} e il precedente vettore dei parametri moltiplicato per una matrice mwgg A {\displaystyle A} .

Un modello ARMA ha diverse caratteristiche che lo rendono semplice da analizzare:

• mwhwlinearità: moltiplicando tutti i valori in ingresso per un fattore k anche l'uscita risulterà moltiplicata per tale valore. Sommando due sequenze di valori in input si otterrà in output la somma delle sequenze di output che si sarebbero ottenute fornendo i due input indipendentemente.

• mwiqtempo invarianza: una certa sequenza in input darà una certa sequenza in output indipendentemente dalla quantità di istanti trascorsi dall'istante zero. Lo stesso concetto di "istante zero" è puramente convenzionale poiché il sistema tende a "dimenticare" il passato, ossia ad esserne influenzato in maniera esponenzialmente decrescente nel corso del tempo (caratteristica detta "evanescenza").

Data una serie storica di valori di mwiw X t {\displaystyle X_{t}\,} , il modello di ARMA è uno strumento per analizzare e predire dei valori futuri e consiste di due parti, ossia una parte mwjaautoregressiva (AR) e di una parte di mwjqmedia mobile (MA). Il modello è solitamente indicato con ARMA (p,q) dove p è l'ordine della parte autoregressiva e q è l'ordine della parte media mobile.

Sebbene il modello appena descritto sia discreto, ossia agisce "a scatti" su istanti di tempo numerabili in mwkaN, è possibile con molta facilità ricavarne la versione continua. In tal caso la matrice mwkq A {\displaystyle A} non conterrà le combinazioni lineari che forniscono un parametro in funzione degli altri, ma quelle che forniscono la mwkgmwkwderivata di un parametro in funzione dei valori degli altri. È possibile approssimare un modello continuo con un modello discreto assumendo di scegliere un intervallo di tempo tra un istante e l'altro sufficientemente piccolo da trascurare l'approssimazione. In genere, in base al mwlateorema di Shannon, è opportuno scegliere una mwlqfrequenza di campionamento che sia almeno doppia rispetto alle frequenze in gioco.

Chiamando u(t) la funzione che descrive i valori in ingresso in funzione del tempo e y(t) la funzione che rappresenta l'uscita, sapendo che il modello ARMA ha un'uscita che è una combinazione lineare dei precedenti valori dell'ingresso e dell'uscita si calcola y(t) come:

mwmg y ( t ) + α α 1 y ( t − − 1 ) + . . . + α α n y ( t − − n ) = β β 0 u ( t ) + β β 1 u ( t − − 1 ) + . . . + β β n u ( t − − n ) {\displaystyle y(t)+{\alpha _{1}}y(t-1)+...+{\alpha _{n}}y(t-n)={\beta _{0}}u(t)+{\beta _{1}}u(t-1)+...+{\beta _{n}}u(t-n)\,}

mentre nel caso di sistema continuo si ha

mwng y ( n ) ( t ) + α α 1 y ( n − − 1 ) ( t ) + . . . + α α n y ( 0 ) ( t ) = β β 0 u ( n ) ( t ) + β β 1 u ( n − − 1 ) ( t ) + . . . + β β n u ( 0 ) ( t ) {\displaystyle y^{(n)}(t)+{\alpha _{1}}y^{(n-1)}(t)+...+{\alpha _{n}}y^{(0)}(t)={\beta _{0}}u^{(n)}(t)+{\beta _{1}}u^{(n-1)}(t)+...+{\beta _{n}}u^{(0)}(t)\,}

che derivata diventa:

mwog y ( t ) = − − α α 1 y ( t − − 1 ) − − . . . − − α α n y ( t − − n ) + β β 0 u ( t ) + β β 1 u ( t − − 1 ) + . . . + β β n u ( t − − n ) {\displaystyle y(t)=-{\alpha _{1}}y(t-1)-...-{\alpha _{n}}y(t-n)+{\beta _{0}}u(t)+{\beta _{1}}u(t-1)+...+{\beta _{n}}u(t-n)\,}

Risulta essere quindi la somma di un termine autoregressivo AR costituito dalla parte con i coefficienti mwpa α α {\displaystyle {\alpha }} e una parte di moving average MA dei coefficienti mwpq β β {\displaystyle {\beta }} .

È possibile introdurre un operatore ritardo mwpw z {\displaystyle z} (in genere si scrive mwqa s {\displaystyle s} per i sistemi continui) che ha lo scopo di ritardare o anticipare un valore, ossia

mwqw f ( t ) = z f ( t − − 1 ) {\displaystyle f(t)=zf(t-1)}

e dunque riscrivere il modello come

mwrw y ( t ) + z − − 1 α α 1 y ( t ) + . . . + z − − n α α n y ( t ) = β β 0 u ( t ) + z − − 1 β β 1 u ( t ) + . . . + z − − n β β n u ( t ) {\displaystyle y(t)+z^{-1}{\alpha _{1}}y(t)+...+z^{-n}{\alpha _{n}}y(t)={\beta _{0}}u(t)+z^{-1}{\beta _{1}}u(t)+...+z^{-n}{\beta _{n}}u(t)\,}

e raccogliere y(t) a primo membro ottenendo una frazione

mwsw y ( t ) = β β 0 u ( t ) + z − − 1 β β 1 u ( t ) + . . . + z − − n β β n u ( t ) 1 + z − − 1 α α 1 + . . . + z − − n α α n {\displaystyle y(t)={\frac {{\beta _{0}}u(t)+z^{-1}{\beta _{1}}u(t)+...+z^{-n}{\beta _{n}}u(t)}{1+z^{-1}{\alpha _{1}}+...+z^{-n}{\alpha _{n}}}}\,}

Questa rappresentazione del modello è detta mwtqfunzione di trasferimento.

Il vantaggio dei modelli ARMA è che possono essere analizzati con molta facilità rispetto agli altri modelli, pur mantenendo un livello di approssimazione relativamente basso. Un sistema continuo, in particolare, sarebbe un sistema di mwuaequazioni differenziali difficili da trattare senza considerare la matrice A.

Analizzando gli mwugautovalori della matrice A è possibile determinare se il sistema è mwuwstabile o meno, ossia se il valore in uscita può tendere a valori infiniti per alcune entrate non infinite. In particolare:

• Se mwvgtutti gli autovalori hanno mwvwparte reale negativa (o modulo minore di 1 nel caso di sistemi a tempo discreto) il sistema è asintoticamente stabile

• Se mwwqqualche autovalore ha parte reale positiva (o modulo superiore a 1 nel caso a tempo discreto) il sistema può avere un'uscita che tende a valori infiniti (positivi o negativi)

• Se esistono autovalori con parte reale nulla (o con modulo unitario nel caso del tempo discreto) il sistema può mantenere un'uscita non nulla all'infinito, anche se l'ingresso rimane nullo dopo alcuni valori iniziali.

• Se vale la stazionarietà allora sistema sarà sempre stazionario

• invertibile se tutte le caratteristiche hanno media maggiore di 1 da verificare perché scrivere il processo in base alla sua storia passata quindi posso prevedere

Inoltre più è bassa la parte reale degli autovalori e più velocemente il sistema tende a stabilizzarsi, e viceversa più la parte reale è alta e più velocemente i valori in uscita dal sistema tenderanno a alzarsi o abbassarsi.

Si possono anche ottenere informazioni dalla mwxwparte immaginaria, in particolare se alcuni autovalori hanno una parte immaginaria non nulla l'uscita tenderà a oscillare con una frequenza proporzionale al valore immaginario e un'ampiezza che diminuirà o aumenterà con velocità esponenziale e coefficiente proporzionale alla parte reale degli autovalori.

È possibile usare l'uscita di un modello ARMA come ingresso di un altro modello, eventualmente sommando le uscite di più modelli, moltiplicandole per costanti arbitrarie e creando degli anelli (ossia mettendo l'uscita di un modello in ingresso a se stesso), ottenendo un sistema ARMA equivalente alla composizione di più modelli semplici. Si può modellizzare facilmente un modello composto seguendo le seguenti regole:

• Due o più modelli in parallelo hanno una funzione di trasferimento complessiva che è la somma delle rispettive funzioni.

• Due modelli in serie hanno una FdT complessiva che è il prodotto delle rispettive FdT

• Un modello moltiplicato per una costante ha una FdT moltiplicata per quella costante

• Un modello in retroazione (ossia il cui ingresso è collegato all'uscita) ha FdT uguale a

mwaq r ( t ) = f ( t ) 1 − − g ( t ) f ( t ) {\displaystyle r(t)={\frac {f(t)}{1-g(t)f(t)}}}

dove f(t) è la FdT e g(t) è una funzione posta lungo l'anello di retroazione (se non è presente equivale a 1), mentre r(t) è la FdT del sistema composto

È dimostrabile che un qualunque processo ARMA stazionario può essere espresso in modo equivalente come un mwbqmodello moving average di tipo MA(mwbg ∞ ∞ {\displaystyle \infty } ). Analiticamente, è sufficiente calcolare mwbwricorsivamente i valori di mwca y ( t − − k ) {\displaystyle y(t-k)} o mwcq y ( t ) ( n − − 1 ) {\displaystyle y(t)^{(n-1)}} con k>0 sostituendoli con i valori dell'entrata. Intuitivamente, basta pensare che l'uscita dipende dai valori precedenti dell'ingresso e dell'uscita stessa, ma questi ultimi dipendono ancora una volta dai precedenti valori in ingresso e in uscita e procedendo a ritroso l'influenza delle uscite precedenti diventa asintoticamente meno influente sull'uscita attuale.

• mwdqGeorge Edward Pelham Box, e Gwilym Meirion Jenkins, Time Series Analysis: Forecasting and Control, Holden-Day, 1979.

• P. Barone, A. Guspini,mweaConfronto fra le prestazioni numeriche di tre algoritmi per la stima dei parametri di modelli ARMA univariatimweq : il caso MA(1), mwegRoma, Istituto per le applicazioni del calcolo "Mauro Picone", Consiglio nazionale delle ricerche, 1983

• Estela Bee Dagum, mwfaAnalisi Delle Serie Storiche: modellistica, previsione e scomposizione, ISBN 88-470-0146-3, Springer, 2002

• mwgqModello autoregressivo

• mwgwModello a media mobile

• mwhqSerie storiche

• mwhwModello autoregressivo integrato a media mobile

• citerefdizionario-di-economia-e-finanzaSamantha Leorato, ARMA/ARIMA, modelli di, in Dizionario di Economia e Finanza, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2012.